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| 엔트로피 [2026/04/13 10:57] – 엔트로피 sync flyingtext | 엔트로피 [2026/04/13 10:57] (현재) – 엔트로피 sync flyingtext |
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| === 폰 노이만 엔트로피 === | === 폰 노이만 엔트로피 === |
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| [[통계역학]]의 고전적 토대인 [[깁스 엔트로피]]는 입자의 위치와 운동량이 결정되는 위상 공간에서의 확률 분포를 전제로 한다. 그러나 [[양자역학]]의 세계에서는 [[불확정성 원리]]로 인해 입자의 상태를 위상 공간의 한 점으로 특정할 수 없으며, 계의 상태는 [[파동 함수]] 또는 이들의 통계적 앙상블인 [[밀도 행렬]](density matrix)로 기술된다. [[존 폰 노이만]](John von Neumann)은 1927년 이러한 양자적 특성을 반영하여 엔트로피의 개념을 선형 연산자 체계로 확장하였다. 폰 노이만 엔트로피는 양자 상태가 지닌 정보의 결여량 혹은 무질서도를 정량화하며, 현대 [[양자 정보 이론]]의 핵심적인 척도로 기능한다. | [[통계역학]]의 고전적 토대인 [[깁스 엔트로피]]는 입자의 위치와 운동량이 결정되는 위상 공간에서의 확률 분포를 전제로 한다. 그러나 [[양자역학]]의 세계에서는 [[불확정성 원리]]로 인해 입자의 상태를 위상 공간의 한 점으로 특정할 수 없으며, 계의 상태는 파동 함수 또는 이들의 통계적 앙상블인 [[밀도 행렬]](density matrix)로 기술된다. [[존 폰 노이만]](John von Neumann)은 1927년 이러한 양자적 특성을 반영하여 엔트로피의 개념을 선형 연산자 체계로 확장하였다. 폰 노이만 엔트로피는 양자 상태가 지닌 정보의 결여량 혹은 무질서도를 정량화하며, 현대 [[양자 정보 이론]]의 핵심적인 척도로 기능한다. |
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| 양자 계의 상태를 나타내는 밀도 행렬을 $\rho$라고 할 때, 폰 노이만 엔트로피 $S$는 다음과 같이 정의된다. | 양자 계의 상태를 나타내는 밀도 행렬을 $\rho$라고 할 때, 폰 노이만 엔트로피 $S$는 다음과 같이 정의된다. |
| $$S(\rho) = -\text{Tr}(\rho \ln \rho)$$ | $$S(\rho) = -\text{Tr}(\rho \ln \rho)$$ |
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| 여기서 $\text{Tr}$은 [[선형대수학]]의 [[대각합]](trace) 연산을 의미한다. 만약 밀도 행렬 $\rho$를 고유값 $\lambda_i$들로 대각화할 수 있다면, 위 식은 $S(\rho) = -\sum_i \lambda_i \ln \lambda_i$로 표현된다. 이때 고유값 $\lambda_i$는 계가 해당 고유 상태에 존재할 확률을 의미하므로, 폰 노이만 엔트로피는 수학적으로 [[섀넌 엔트로피]]의 양자역학적 일반화라 할 수 있다. 통상적인 물리 단위계에서는 [[볼츠만 상수]] $k_B$를 곱하여 에너지 단위와 정합시키나, 정보 이론적 맥락에서는 이를 1로 간주하거나 밑이 2인 로그를 사용하여 비트(bit) 단위로 측정하기도 한다. | 여기서 $\text{Tr}$은 [[대각합]](trace) 연산을 의미한다. 만약 밀도 행렬 $\rho$를 [[고윳값]](eigenvalue) $\lambda_i$들로 대각화할 수 있다면, 위 식은 $S(\rho) = -\sum_i \lambda_i \ln \lambda_i$로 표현된다. 이때 고윳값 $\lambda_i$는 계가 해당 고유 상태에 존재할 확률을 의미하므로, 폰 노이만 엔트로피는 수학적으로 [[섀넌 엔트로피]]의 양자역학적 일반화라 할 수 있다. 통상적인 물리 단위계에서는 볼츠만 상수를 곱하여 에너지 단위와 정합시키나, 정보 이론적 맥락에서는 이를 1로 간주하거나 밑이 2인 로그를 사용하여 비트(bit) 단위로 측정하기도 한다. |
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| 폰 노이만 엔트로피는 계의 [[중첩]](superposition)과 통계적 혼합을 구분하는 명확한 기준을 제시한다. 계가 단일한 파동 함수로 완전히 기술되는 [[순수 상태]](pure state)일 경우, 밀도 행렬은 $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$의 형태를 가지며 고유값 중 하나만이 1이고 나머지는 0이 된다. 이 상황에서 엔트로피는 $S = 0$이 되는데, 이는 계의 물리적 상태에 대한 정보가 최대치에 도달해 있음을 의미한다. 반면, 여러 양자 상태가 고전적인 확률에 의해 섞여 있는 [[혼합 상태]](mixed state)에서는 엔트로피가 0보다 큰 값을 가지며, 이는 관찰자가 계의 구체적인 상태를 확정할 수 없는 정보의 불확실성을 나타낸다. | 폰 노이만 엔트로피는 계의 중첩(superposition)과 통계적 혼합을 구분하는 명확한 기준을 제시한다. 계가 단일한 파동 함수로 완전히 기술되는 [[순수 상태]](pure state)일 경우, 밀도 행렬은 $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$의 형태를 가지며 고윳값 중 하나만이 1이고 나머지는 0이 된다. 이 상황에서 엔트로피는 $S = 0$이 되는데, 이는 계의 물리적 상태에 대한 정보가 최대치에 도달해 있음을 의미한다. 반면, 여러 양자 상태가 고전적인 확률에 의해 섞여 있는 [[혼합 상태]](mixed state)에서는 엔트로피가 0보다 큰 값을 가지며, 이는 관찰자가 계의 구체적인 상태를 확정할 수 없는 정보의 불확실성을 나타낸다. |
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| 이 개념은 [[양자 얽힘]](quantum entanglement)을 정량화하는 데 있어 결정적인 역할을 수행한다. 두 부분계 A와 B로 구성된 전체 계가 순수 상태 $|\Psi_{AB}\rangle$라 하더라도, 두 계가 서로 얽혀 있다면 개별 부분계의 상태는 순수 상태로 기술될 수 없다. 이때 부분계 A의 상태를 나타내는 [[축약된 밀도 행렬]](reduced density matrix) $\rho_A = \text{Tr}_B(\rho_{AB})$를 구하면, 이의 폰 노이만 엔트로피인 $S(\rho_A)$는 0보다 큰 값을 갖게 된다. 이를 [[얽힘 엔트로피]](entanglement entropy)라고 부르며, 이는 전체 계의 정보를 알고 있음에도 불구하고 국소적인 관찰자가 부분계만을 측정할 때 발생하는 정보 손실량을 측정한다. | 이 개념은 [[양자 얽힘]](quantum entanglement)을 정량화하는 데 있어 결정적인 역할을 수행한다. 두 부분계 A와 B로 구성된 전체 계가 순수 상태 $|\Psi_{AB}\rangle$라 하더라도, 두 계가 서로 얽혀 있다면 개별 부분계의 상태는 순수 상태로 기술될 수 없다. 이때 부분계 A의 상태를 나타내는 [[축약된 밀도 행렬]](reduced density matrix) $\rho_A = \text{Tr}_B(\rho_{AB})$를 구하면, 이의 폰 노이만 엔트로피인 $S(\rho_A)$는 0보다 큰 값을 갖게 된다. 이를 [[얽힘 엔트로피]](entanglement entropy)라고 부르며, 이는 전체 계의 정보를 알고 있음에도 불구하고 국소적인 관찰자가 부분계만을 측정할 때 발생하는 정보 손실량을 측정한다. |
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| 폰 노이만 엔트로피는 몇 가지 중요한 수학적 성질을 보유한다. 첫째, [[유니터리 변환]](unitary transformation)에 대해 불변이다. 이는 계가 외부와의 상호작용 없이 [[슈뢰딩거 방정식]]에 따라 가역적으로 진화할 때 계의 엔트로피가 보존됨을 의미한다. 둘째, 엔트로피는 밀도 행렬에 대해 [[오목성]](concavity)을 가진다. 즉, 두 밀도 행렬을 혼합할 경우 혼합된 상태의 엔트로피는 각 상태 엔트로피의 가중 평균보다 크거나 같다. 마지막으로, 복합계의 엔트로피는 각 부분계 엔트로피의 합보다 작거나 같다는 [[강한 부가산성]](strong subadditivity)을 만족하며, 이는 양자 통계역학에서 정보의 상관관계를 다루는 기초가 된다.((J. von Neumann, “Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten”, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1927, https://eudml.org/doc/59214 | 폰 노이만 엔트로피는 몇 가지 중요한 수학적 성질을 보유한다. 첫째, [[유니터리 변환]](unitary transformation)에 대해 불변이다. 이는 계가 외부와의 상호작용 없이 슈뢰딩거 방정식에 따라 가역적으로 진화할 때 계의 엔트로피가 보존됨을 의미한다. 둘째, 엔트로피는 밀도 행렬에 대해 [[오목성]](concavity)을 가진다. 즉, 두 밀도 행렬을 혼합할 경우 혼합된 상태의 엔트로피는 각 상태 엔트로피의 가중 평균보다 크거나 같다. 마지막으로, 복합계의 엔트로피가 각 부분계 엔트로피의 합보다 작거나 같다는 [[부가산성]](subadditivity)과, 그보다 강력한 조건인 [[강한 부가산성]](strong subadditivity)을 만족한다. 이는 양자 통계역학에서 정보의 상관관계를 다루는 기초가 된다.((J. von Neumann, “Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten”, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1927, https://eudml.org/doc/59214 |
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