최소제곱법(Method of Least Squares)은 측정이나 실험을 통해 얻은 데이터 집합에 가장 적합한 수학적 모델을 결정하기 위해 사용되는 수치적 최적화 기법이다. 이 방법은 관측값과 모델에 의한 예측값 사이의 차이인 잔차(residual)를 정의하고, 모든 데이터 포인트에 대한 잔차의 제곱합을 최소화하는 매개변수를 산출하는 것을 목적으로 한다. 과학적 관측에서 발생하는 오차를 체계적으로 처리하기 위해 고안된 이 기법은 오늘날 통계학, 수치 해석, 기계 학습 등 데이터를 다루는 거의 모든 학문 분야의 기초가 되고 있다.¹⁾

수학적 정의를 위해 관측된 데이터 쌍 $ (x_i, y_i) $가 $ n $개 존재한다고 가정한다. 여기서 $ x_i $는 독립 변수, $ y_i $는 종속 변수이다. 추정하고자 하는 매개변수 벡터를 $ $라고 할 때, 모델 함수를 $ f(x, ) $로 정의하면 각 데이터 포인트에서의 잔차 $ r_i $는 다음과 같이 표현된다.

$ r_i = y_i - f(x_i, ) $

최소제곱법의 핵심인 목적 함수(objective function) $ S() $는 이 잔차들의 제곱의 합으로 구성된다.

$$ S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} r_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - f(x_i, \beta))^2 $$

이 함수 $ S() $를 최소화하는 매개변수 $ $를 찾는 과정이 최소제곱 추정의 본질이다. 목적 함수에서 잔차의 단순 합이 아닌 제곱합을 사용하는 이유는 크게 두 가지로 요약된다. 첫째, 잔차의 부호와 관계없이 오차의 크기를 양의 값으로 통일하여 누적할 수 있으며, 수학적으로는 미분 가능한 이차 형식(quadratic form)을 취하게 되어 최적화 문제를 해결하기 용이해진다. 둘째, 통계적 관점에서 오차가 정규 분포(normal distribution)를 따른다고 가정할 때, 최소제곱법을 통해 얻은 추정량은 최대 우도 추정법(Maximum Likelihood Estimation, MLE)에 의한 결과와 일치하는 통계적 정당성을 확보한다.²⁾

최적해를 구하기 위해서는 목적 함수 $ S() $를 매개변수 $ $에 대해 편미분하여 그 결과가 0이 되는 지점을 찾는다. 선형 모델의 경우 이 과정은 정규 방정식(normal equations)이라 불리는 일련의 선형 연립 방정식으로 귀결되며, 이는 행렬 대수를 통해 명시적인 해(closed-form solution)를 구할 수 있게 한다. 반면 비선형 모델의 경우에는 직접적인 해를 구하기 어려우므로 가우스 뉴턴 방법이나 레벤버그 마쿼트 알고리즘과 같은 반복적인 수치 최적화 기법을 동원한다.

기하학적 관점에서 최소제곱법은 선형 대수학의 직교 투영(orthogonal projection) 원리로 해석될 수 있다. 관측값들을 $ n $차원 공간의 하나의 벡터 $ $로 간주하고, 모델이 생성할 수 있는 모든 예측값의 집합을 해당 공간 내의 부분 공간(subspace)으로 정의할 때, 최소제곱해는 벡터 $ $와 이 부분 공간 사이의 유클리드 거리(Euclidean distance)를 최소화하는 점을 찾는 것과 같다. 이는 결과적으로 잔차 벡터가 모델의 열 공간(column space)과 직교할 때 달성되며, 이러한 기하학적 통찰은 데이터의 차원 축소나 신호 처리 분야에서도 중요한 이론적 배경을 제공한다.

측정값과 함수값의 차이인 잔차의 제곱합을 최소화하여 최적의 해를 구하는 수치적 방법론을 정의한다.

오차 제곱의 합을 최소화하기 위한 목적 함수의 구성과 그 수학적 의미를 고찰한다.

벡터 공간에서 관측값 벡터를 부분 공간으로 투영하는 관점에서의 최소제곱법을 설명한다.

최소제곱법(Method of Least Squares)의 기원은 18세기 말과 19세기 초 천문학 및 측지학 분야에서 직면했던 실질적인 문제 해결 과정과 궤를 같이한다. 당시 과학자들은 천체의 궤도를 결정하거나 지구의 형상을 정밀하게 측정하기 위해 수많은 관측 데이터를 수집하였으나, 측정 기기의 한계와 환경적 요인으로 인해 발생하는 오차를 처리하는 데 어려움을 겪었다. 미지수의 개수보다 관측 방정식의 수가 더 많은 과잉 결정계(Overdetermined system) 상황에서, 모든 관측치를 완벽하게 만족하는 단일해를 구하는 것은 불가능하였다. 이에 따라 여러 관측값으로부터 가장 신뢰할 수 있는 최적의 추정치를 도출하기 위한 수학적 원리의 정립이 절실히 요구되었다.

이러한 시대적 요구에 부응하여 최소제곱법을 학계에 처음으로 공식 발표한 인물은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)이다. 그는 1805년 발표한 저서 『혜성 궤도 결정의 새로운 방법(Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes)』의 부록에서 이 원리를 제안하였다. 르장드르는 각 관측값 $ y_i $와 모델에 의한 예측값 $ f(x_i) $ 사이의 차이인 잔차(Residual)를 정의하고, 이들의 제곱합을 최소화하는 방법론을 제시하였다.

$$ S = \sum_{i=1}^{n} [y_i - f(x_i)]^2 $$

그는 잔차의 단순 합이나 절댓값의 합을 이용하는 대신 제곱합을 선택함으로써, 미분을 통해 최적해를 산출하는 과정이 수학적으로 매우 간결해진다는 점을 통찰하였다. 르장드르의 접근은 확률론적 배경보다는 수치 해석적인 편의성과 논리적 명쾌함에 초점이 맞춰져 있었다.

독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 1809년 저술한 『태양 주변을 원추 곡선 궤도로 회전하는 천체 운동 이론(Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium)』에서 최소제곱법을 더욱 체계적으로 발전시켰다. 가우스는 자신이 이미 1795년부터 이 방법을 사용해 왔다고 주장하며 르장드르와 우선권 논쟁을 벌이기도 하였으나, 그의 진정한 공헌은 최소제곱법에 확률론적 정당성을 부여한 데 있다. 가우스는 관측 오차가 정규 분포(Normal distribution)를 따른다는 가정하에, 최소제곱법에 의한 추정치가 최대 우도 추정법(Maximum Likelihood Estimation)과 일치함을 증명하였다. 특히 그는 1801년 실종되었던 소행성 세레스(Ceres)의 위치를 단 몇 개의 관측 자료만으로 정확히 예측해냄으로써 이 방법의 실용적 위력을 전 세계에 입증하였다.³⁾

이후 피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)는 1812년 발간한 『확률론의 분석적 이론(Théorie analytique des probabilités)』에서 중심극한정리(Central Limit Theorem)를 이용하여 가우스의 오차 법칙을 보완하였다. 라플라스는 수많은 독립적인 미세 오차들이 합쳐질 때 그 전체 오차의 분포가 정규 분포로 수렴한다는 사실을 밝힘으로써, 오차가 반드시 정규 분포를 따라야 한다는 가우스의 전제를 일반적인 상황으로 확장시켰다.⁴⁾ 이러한 일련의 과정을 거쳐 최소제곱법은 단순한 수치 계산 기법을 넘어 현대 통계학과 회귀 분석의 핵심적인 근간으로 자리 잡게 되었다.

18세기 천체 관측 데이터의 오차를 보정하기 위해 발생한 학문적 요구를 설명한다.

최소제곱법을 처음 발표한 르장드르와 이를 체계화하고 오차 법칙을 정립한 가우스의 업적을 비교한다.

모델이 매개변수에 대해 선형인 경우의 해법과 성질을 상세히 다룬다.

최적해를 구하기 위해 유도되는 선형 연립 방정식인 정규 방정식의 도출 과정을 설명한다.

관측 행렬과 설계 행렬을 이용해 최적 매개변수 벡터를 산출하는 행렬 연산 과정을 기술한다.

하나의 독립 변수와 하나의 종속 변수 사이의 관계를 최소제곱법으로 추정하는 기초 모델을 다룬다.

여러 개의 독립 변수가 존재하는 상황에서 매개변수를 동시에 추정하는 확장된 모델을 설명한다.

매개변수와 종속 변수의 관계가 비선형일 때 사용하는 수치적 최적화 기법을 다룬다.

초기값을 설정하고 점진적으로 최적해에 접근하는 수치 해석적 방법의 필요성을 설명한다.

테일러 전개를 통해 비선형 함수를 선형화하여 해를 찾는 기본적인 반복법을 다룬다.

가우스 뉴턴 방법과 경사 하강법을 결합하여 수렴의 안정성을 높인 알고리즘을 설명한다.

최소제곱법을 통해 얻은 추정량의 통계적 우수성과 전제 조건을 분석한다.

일정한 가정 하에서 최소제곱 추정량이 최선 선형 불편 추정량이 됨을 증명한다.

결정 계수와 잔차의 분포를 통해 모델이 데이터를 얼마나 잘 설명하는지 평가하는 지표를 다룬다.

최소제곱법이 이상치에 민감하게 반응하는 한계점과 이를 보완하기 위한 개념을 소개한다.

기본적인 최소제곱법의 한계를 극복하기 위해 변형된 다양한 기법들을 소개한다.

각 관측값의 신뢰도나 분산이 다를 경우 가중치를 부여하여 추정의 정확도를 높이는 방법을 다룬다.

오차항들 사이에 상관관계가 존재할 때 이를 고려하여 매개변수를 추정하는 기법을 설명한다.

과적합을 방지하기 위해 목적 함수에 벌점항을 추가하는 릿지 회귀와 라쏘 회귀의 원리를 다룬다.

최소제곱법(Method of Least Squares)은 관측 데이터에 포함된 오차(Error)를 통계적으로 처리하여 최적의 해를 도출하는 방법론으로서, 자연과학과 사회과학을 막론하고 현대 학문의 거의 모든 영역에서 필수적인 분석 도구로 활용된다. 이 기법은 단순히 데이터를 함수에 맞추는 수치적 수단을 넘어, 불확실성이 존재하는 시스템 내에서 가장 신뢰할 수 있는 정보를 추출하는 이론적 근거를 제공한다.

측량학(Geodesy) 및 위성 항법 시스템(Global Navigation Satellite System, GNSS) 분야에서 최소제곱법은 지표면의 위치 결정과 궤도 산출의 핵심적인 알고리즘이다. 지표상의 한 점을 결정하기 위해 수행되는 삼각 측량이나 다각 측량 과정에서는 미지수의 수보다 많은 과잉 관측이 이루어지며, 각 관측값은 기기적 한계나 환경적 요인으로 인해 서로 일치하지 않는 모순을 발생시킨다. 이때 최소제곱법은 관측 방정식의 잔차(Residual) 제곱합을 최소화함으로써 각 관측점의 최확값(Most probable value)을 산출한다. 특히 글로벌 위치 결정 시스템(Global Positioning System, GPS) 수신기가 4개 이상의 위성으로부터 신호를 받아 사용자의 3차원 좌표와 시각 오차를 계산할 때, 비선형 방정식을 선형화한 후 반복적인 최소제곱 연산을 수행하여 정밀한 위치 정보를 제공한다.

경제학 및 계량경제학(Econometrics)에서는 변수 간의 인과관계를 규명하고 미래 가치를 예측하기 위한 회귀 분석(Regression analysis)의 표준적 추정 방식으로 자리 잡고 있다. 애덤 스미스 이후의 고전 경제학적 가설들을 실증적으로 검증하기 위해, 연구자들은 수집된 통계 자료에 최소제곱법을 적용하여 모델의 매개변수를 추정한다. 가우스-마르코프 정리(Gauss-Markov theorem)에 의해 일정한 통계적 가정이 충족될 경우, 최소제곱 추정량은 최선 선형 불편 추정량(Best Linear Unbiased Estimator, BLUE)이 됨이 수학적으로 증명되어 있다. 이는 경제 정책의 효과 분석이나 국내총생산(Gross Domestic Product, GDP) 성장률 예측 등 높은 신뢰도가 요구되는 의사결정 과정에서 최소제곱법이 가장 우선적으로 고려되는 이유이다.

현대 기계 학습(Machine Learning)과 인공지능(Artificial Intelligence) 분야에서 최소제곱법은 데이터를 학습시키는 최적화(Optimization) 기법의 근간을 이룬다. 가장 기본적인 지도 학습 모델인 선형 회귀(Linear regression)는 입력 데이터와 출력 타깃 사이의 관계를 최소제곱법을 통해 학습한다. 모델의 예측값과 실제값의 차이를 정의하는 손실 함수(Loss function)로 평균 제곱 오차(Mean Squared Error, MSE)를 사용하는 것은 최소제곱법의 원리를 직접적으로 계승한 것이다. 복잡한 인공 신경망(Artificial Neural Network)의 학습 과정에서 사용되는 경사 하강법(Gradient Descent)이나 다양한 정규화 기법들 역시, 근본적으로는 고차원 공간에서의 오차 제곱합을 최소화하려는 수치 해석적 시도에서 파생된 것이다.

물리학과 천문학 등 기초 과학 분야에서도 최소제곱법의 위상은 독보적이다. 실험실에서 얻은 데이터로부터 플랑크 상수나 중력 상수와 같은 물리적 상수를 정밀하게 추출할 때, 실험 오차를 배제하고 이론값에 가장 근접한 수치를 얻기 위해 이 방법이 사용된다. 천문학에서는 케플러의 법칙을 따르는 천체의 궤도 요소를 결정하거나, 우주 마이크로파 배경 복사 데이터를 분석하여 우주의 나이와 구성 성분을 추정하는 등 거시적 우주 모델의 타당성을 검증하는 데 핵심적인 역할을 수행한다. 이처럼 최소제곱법은 데이터로부터 객관적인 진리를 도출하려는 모든 정량적 연구의 기초적인 방법론으로 기능하고 있다.

지표면의 위치 결정 및 위성 신호의 오차 보정 과정에서 수행되는 최소제곱 연산을 설명한다.

경제 지표 간의 상관관계를 규명하고 미래 가치를 예측하기 위한 회귀 분석 도구로서의 역할을 다룬다.

데이터 학습 과정에서 손실 함수를 최소화하는 최적화 기법의 근간으로서 최소제곱법의 위상을 고찰한다.