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 === 시스템 최적화 원리 ===
-네트워크 전체의 총 통행 시간을 최소화하는 관점에서의 배정 방식을 다룬다.
+시스템 최적화(System Optimum, SO) 원리는 [[교통망]] 내의 모든 이용자가 개별적인 이익을 극대화하는 대신, 네트워크 전체의 총 통행 시간이나 총 비용을 최소화하도록 통행량을 배정하는 방식이다. 이는 [[존 글렌 와드롭]](John Glen Wardrop)이 1952년에 제시한 두 가지 원리 중 제2원리에 기초한다. [[이용자 균형]](User Equilibrium) 원리가 개별 이용자가 자신의 통행 시간을 최소화하려는 이기적 선택의 결과로 나타나는 평형 상태를 다룬다면, 시스템 최적화 원리는 사회적 관점에서 가장 효율적인 자원 배분 상태를 정의한다. 따라서 시스템 최적화는 [[교통 계획]] 및 정책 수립 시 네트워크 운영의 효율성을 측정하는 이상적인 기준점으로 활용된다.
+시스템 최적화 상태를 수리적으로 정의하기 위해, 도로망의 각 링크 $ a $에서의 통행량을 $ x_a $, 해당 링크의 통행 시간 함수를 $ t_a(x_a) $라고 할 때, 네트워크 전체의 총 통행 시간 $ Z $를 최소화하는 목적 함수는 다음과 같이 설정된다.
+$$ Z = \min \sum_{a} x_a \cdot t_a(x_a) $$
+이때 모든 기종점(Origin-Destination) 쌍에 대한 통행 수요가 충족되어야 하며, 각 링크의 통행량은 음수가 될 수 없다는 제약 조건이 부과된다. 이 최적화 문제를 해결하기 위한 [[라그랑주 승수법]]을 적용하면, 시스템 최적화 상태에서는 선택된 모든 경로의 한계 통행 시간(Marginal Travel Time)이 동일하며, 선택되지 않은 경로의 한계 통행 시간은 이보다 크거나 같아야 한다는 조건이 도출된다. 여기서 특정 링크 $ a $의 한계 통행 시간 $ t’_a(x_a) $는 다음과 같이 정의된다.
+$$ t'_a(x_a) = \frac{d}{dx_a} [x_a \cdot t_a(x_a)] = t_a(x_a) + x_a \cdot \frac{dt_a(x_a)}{dx_a} $$
+위 식에서 $ t_a(x_a) $는 추가되는 이용자 자신이 경험하는 평균 통행 시간이며, $ x_a  $는 해당 이용자의 진입으로 인해 기존에 도로를 주행하던 다른 이용자들이 추가로 겪게 되는 지체의 합을 의미한다. 이를 [[외부 불경제]](External Diseconomy) 또는 혼잡 외부 효과라고 하며, 시스템 최적화 원리는 이러한 외부 비용을 의사결정 과정에 내부화하여 전체 최적을 달성한다.
+이용자 균형과 시스템 최적화 사이에는 필연적인 괴리가 발생한다. 개별 이용자는 타인에게 미치는 지체 영향을 고려하지 않고 오직 자신의 통행 시간만을 고려하여 경로를 선택하기 때문에, 일반적으로 이용자 균형 상태에서의 총 통행 시간은 시스템 최적화 상태보다 길게 나타난다. 이러한 두 상태 사이의 효율성 차이를 [[무질서의 대가]](Price of Anarchy)라고 정의하며, 이는 교통 혼잡으로 인한 사회적 비용의 크기를 가늠하는 지표가 된다. 특히 특정 링크의 용량을 추가했을 때 오히려 전체 네트워크의 혼잡이 악화되는 [[브래스 역설]](Braess’ Paradox)은 이용자 균형과 시스템 최적화의 불일치를 보여주는 대표적인 사례이다.
+현실의 교통 시스템에서 이용자들이 자발적으로 시스템 최적화 상태를 유지하도록 유도하는 것은 매우 어렵다. 따라서 교통 공학자들은 시스템 최적화를 실현하기 위한 정책적 수단으로 [[혼잡 통행료]](Congestion Pricing)를 제안한다. 각 링크를 이용할 때 발생하는 한계 외부 비용만큼을 통행료로 부과하면, 이용자가 체감하는 비용이 시스템 최적화의 한계 통행 시간과 일치하게 되어 개별적인 선택이 곧 사회적 최적으로 귀결되도록 유도할 수 있다. 이는 [[피구세]](Pigouvian Tax)의 원리를 교통 네트워크에 적용한 것으로, 한정된 도로 자원을 효율적으로 배분하기 위한 핵심적인 이론적 토대가 된다.
 ===== 현대적 수요 분석 기법과 발전 방향 =====

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